高二数学讲稿:导数的概念

一、教材分析

导数的概念是高中新教材2-2第一章1.1.2的内容。在上节课学习的物理平均速度、瞬时速度和平均变化率的基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，并从实例中得出导数的概念，为以后更好地学习导数的几何意义和应用奠定了基础。

新教材在处理这个问题上改变了很多。它和旧教材的区别在于，它从平均变化率入手，用直观的“近似”方法定义导数。

问题1气球平均充气率-→瞬时充气率

问题2:高台跳水平均速度-→瞬时速度-→

根据对上述教材结构和内容的分析，基于学生的认知水平，制定以下教学目标、重点和难点。

二，教学目标

1，知识技能:

通过对大量实例的分析，经历了从平均变化率到瞬时变化率的过渡，了解了导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、流程和方法:

①通过动手计算，培养学生的观察、分析、比较、归纳能力。

(2)通过问题的探究，实现以已知逼近、类比、探索未知，从特殊到一般的数学思维方法。

3.情感、态度和价值观:

用运动的观点理解导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣。

三、重点和难点

重点:导数概念的形成及其内涵的理解。

难点:在平均变化率的基础上探究瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，引导学生通过逼近观察来突破难点。

四、教学思路(具体如下表)

教学内容，师生互动设计思路，创设情景，引入新课幻灯片。

复习上节课留下的思考问题:

跳台跳水中，运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)之间存在函数关系。h(t)=-4.9t 2+6.5t+10。计算这段时间运动员的平均速度，思考以下问题:

(1)这段时间运动员还在吗？

(2)你认为用平均速度来描述运动员的运动状态有什么不妥吗？

首先，复习上节课遗留的思考问题:

在学生讨论交流结果的基础上，提出运动员在此期间的平均速度为“0”，但我们知道运动员在此期间并不是“静止”的。为什么会这样？

引起学生的好奇心，认识到平均速度只能大致描述一个物体在一定时间内的运动状态。为了更准确地描述物体的运动，我们有必要研究某一时刻的速度，即瞬时速度。

让学生带着问题走进课堂，激发学生的求知欲，探究并展示其内涵。

根据学生的认知水平，概念的形成分为两个层次:

结合潜水问题，瞬时速度的定义就清晰了。

问题1:请思考如何求运动员的瞬时速度，比如t=2时的瞬时速度。

提出第一个问题，组织学生讨论，引导学生自然想到选择一个特定的时刻，如t=2，研究其附近的平均速度变化，找到问题的思路，从而使抽象的问题具体化。

理解导数的内涵是本课教学的重点和难点。通过设置不同层次的疑点，将学生推向问题的中心，让学生直观地操作和感受，突出重点，突破难点。

问题2:请继续思考。当δ t取不同的值时，你想计算什么值？

δt

δt

-0.1 0.1

-0.01 0.01

-0.001 0.001

-0.0001 0.0001

-0.00001 0.00001

……….….…….…

学生对概念的认知需要大量直观的数据，所以我要求学生分组使用计算器完成问题2。

帮助学生理解从平均速度出发和“用已知探索未知”的数学思想方法，培养学生的动手操作能力

问题3:当δt趋于0时，平均速度的趋势是什么？

δt

δt

-0.1 -12.61 0.1 -13.59

-0.01 -13.051 0.01 -13.149

-0.001 -13.0951 0.001 -13.1049

-0.0001 -13009951 0.0001 -13.10049

-0.00001 -13.099951 0.00001 -13.100049

……….….…….…

一方面分组讨论，上台表演，展示计算结果。同时我们说:在t=2的时刻，当δ t趋于0时，平均速度趋于某个值-13.1，也就是瞬时速度，我们将第一次逼近这个想法；另一方面，借助动画，引导学生多渠道观察、分析、比较、总结，第二次体验接近的想法。为了表达方便，数学中使用简单的符号，即

数形结合扫清学生思维障碍，突破教学难点，体验数学中的简单之美。

问题4:如何表达运动员在某一时刻的瞬时速度？

引导学生继续思考:如何表达运动员在某一时刻的瞬时速度？学生们意识到它将取代2。

与旧教材相比，这里没有提到极限的概念，而是用生动的逼近来定义瞬间的瞬时速度，更符合学生的认知规律，提高了思维能力，体现了特殊到一般的思维方法。

用其他例子，抽象出导数的概念。

问题5:体积如何表示气球的瞬时充气率？

类比之前学过的瞬时速度问题，引导学生得到瞬时膨胀率的表达式。

积极的师生互动可以帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移，寻找不同实际背景下的数学* * *即瞬时变化率对于不同的实际问题富有不同的实际意义。

问题6:如果将这两个变化率问题中的函数表示为，那么函数的瞬时变化率是多少？

在前两个问题的铺垫下，进一步提出我们这里研究的函数的瞬时变化率，也就是函数的导数，写成

(也可以写成)

引导学生抛弃具体问题的实际意义，抽象地、由易到难、由特殊到一般地得到导数的定义，帮助学生完成思维的飞跃；同时提到导数产生的背景，让学生感受到数学文化的影响，感受到数学来源于生活，服务于生活。

循序渐进，延伸

扩展示例1:将原油炼制成汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果原油温度(单位:)为x h

(1)计算第2小时和第6小时的原油温度瞬时变化率，并说明其意义。

(2)计算第3小时和第5小时的原油温度瞬时变化率，并说明其意义。

步骤:

①启发学生根据导数的定义求和。

②由于我们得到了2h和6h的原油温度瞬时变化率分别为-3和5，能否解释其含义？

(3)你能用同样的方法解决问题2吗？

(4)师生* * *用归纳法，导数是瞬时变化率，可以反映物体变化的速度。

逐步提问，引导学生探究导数的内涵。

培养学生的应用意识是高中数学课程标准倡导的重要理念之一。在教学中以具体问题为载体，可以加深学生对导数内涵的理解，体验数学在现实生活中的应用。

变式练习:已知物体运动的位移(m)满足与时间的关系t(s) =-2t2+5t (1)求物体在第5秒和第6秒的瞬时速度。

(2)求物体在时间t的瞬时速度。

(3)求物体在t时刻的运动加速度，判断物体做什么运动。

学生独立完成，上台表演，第三次体验接近的想法。

目的是让学生学会从数学的角度看待物理模型，建立学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律，对知识进行总结和内化。

1，瞬时速度的概念

2.导数的概念

3.思维方法:“用已知探索未知”，方法，类比，从特殊到一般。

引导学生讨论，互相补充然后回答，老师点评并给他们配幻灯片。

让学生自己总结，不仅是知识，还有数学思想方法。这是一个知识重组、多维整合、高层次自我认知的过程，可以帮助学生构建自己的知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。

作业布置，板书设计(必读)第10页练习A组第2、3、4题

(可选):思考11页练习B组题1是学生信息的反馈，可以发现和弥补教学中的不足，同时注重个体差异，因材施教。

所附板书设计清晰工整，便于突出知识目标。

动词 （verb的缩写）学习方法和教学方法

学习方法和教学工具

学习法律:

(1)合作学习:引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。(如问题2的处理)

(2)自主学习:通过亲身体验，引导学生通过说、想、动手参与数学活动。(如问题3的处理)

(3)探究学习:引导学生发挥主观能动性，积极探索新知识。(如实例的处理)

教学工具:电脑、多媒体、计算器。

教学方法:整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①师生互动和* * *探索。(2)引导——老师引导，循序渐进。

(1)新课程导入——提问激发学生求知欲。

(2)理解导数的内涵——数形结合，动手计算，组织学生自主探究，得出导数的定义。

(3)例题处理——总是从问题出发，分层次提出疑问，让他们在探索中享受知识。

(4)变式练习——加深对导数内涵的理解，巩固新知识。

不及物动词评估和分析

本课程展示了一个从平均速度到瞬时速度再到导数的完整的数学探究过程。提出问题，计算观察，发现规律，给出定义，让学生体验知识再发现的过程，促进个性化学习。

从老教材来看，导数概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，再到导数。这种概念构建方法逻辑性强，系统性强，但学生很难理解极限的形式定义，也影响了对导数本质的理解。

新教材没有介绍极限的正式定义及相关知识，而是用直观的方法定义导数。

通过计算列表，直观把握函数的变化趋势(其中包含极限的描述性定义)，便于学生理解；

以这种方式定义导数的优点是:

1.避免学生认知水平与知识学习的矛盾；

2.更加注重对导数本质的理解；

3.学生有丰富的直观基础，对逼近思想有一定的了解，有利于在大学初级阶段学习一个严格的极限定义。

(附)黑板设计